La dimostrazione di un teorema, in generale, è un ragionamento formato da una catena di deduzioni che parte dalle ipotesi (le premesse del ragionamento) e arriva alla tesi (ciò che si deve dimostrare); in questo caso si parla di dimostrazione diretta, ma c'è un altro tipo di dimostrazione, la dimostrazione per assurdo.

Sono interessanti anche le dimostrazioni costruttive, in cui per dimostrare l'esistenza di qualcosa (per esempio, la circonferenza passante per tre punti non allineati), lo si costruisce, e dalla costruzione si deduce l'esistenza.

La dimostrazione per assurdo (reductio ad absurdum) è un tipo particolare di dimostrazione in cui per dimostrare un certo enunciato si suppone che quell'enunciato sia falso.

Alle ipotesi di partenza, quindi, se ne aggiunge un'altra: la negazione della tesi.
Poi si costruisce una catena di deduzioni (dimostrazione), procedendo finché non si arriva a un assurdo, qualcosa che contraddice una delle ipotesi (che non possono essere contraddette) o un assioma o un teorema già dimostrato.

Arrivati all'assurdo, in base al principio del terzo escluso (tertium non datur), si deduce che, visto che supporre che la tesi sia falsa porta a una contraddizione, la tesi non può essere falsa e quindi, deve essere vera perchè non ci sono altre possibilità: un enunciato o è vero o è falso; se non può essere falso, deve essere vero.

L'idea è un po' questa: se vogliamo dimostrare che una proposizione è vera, facciamo finta che sia falsa e vediamo cosa succede.

A me piace molto la dimostrazione per assurdo, ma le prime volte che ne parlo in classe vedo sempre degli sguardi confusi e spaesati e allora, con gli anni, sono arrivata a formulate un esempio che forse è un po' "strano", ma mi sembra che possa rendere l'idea un po' più chiara.

Supponiamo di voler uscire da una stanza buia, di notte.
Supponiamo che ci sia una porta e che sia aperta.
Cominciamo a camminare in direzione della porta.
Se la porta fosse aperta, a un certo punto ci troveremmo fuori dalla stanza, ma se ci scontriamo con la porta chiusa, dobbiamo dedurre che non era vero che la porta fosse aperta.
La porta chiusa contro cui ci scontriamo rappresenta l'assurdo.