Delle geometrie finite non si parla abbastanza, secondo me.
Anch'io ne parlo troppo poco, ma le nomino sempre quando, durante le prime lezioni di Geometria, cerco di illustrare il significato e l'importanza degli assiomi.
Quando vedo che gli studenti stentano a capire il discorso sugli assiomi, spiego sempre che se gli assiomi della Geometria Euclidea (la geometria che si studia a scuola) sembrano ovvi, è solo perché la Geometria Euclidea riflette la geometria in cui siamo immersi, quella in cui viviamo. Se però si prendono altri assiomi come punto di partenza, si possono ottenere geometrie "diverse" e a questo punto, cito sempre le geometrie finite.

Il piano di Fano è un esempio semplice ed interessante di geometria finita. E' il più piccolo piano proiettivo.

E' un piano che contiene solo 7 punti e 7 rette.
Può essere rappresentato come si vede in figura: un triangolo equilatero in cui è inscritta una circonferenza.

I "punti" sono solo i punti blu, A, B, C, D, E, F, G. Si tratta dei vertici e dell'incentro del triangolo e dei punti medi dei suoi lati. (I rimanenti punti dei segmenti non sono "punti" di questo piano.)
Le "rette" del piano di Fano sono particolari sottoinsiemi dell'insieme dei "punti", sono le terne formate dai "punti" del piano, tutte le terne possibili. La figura aiuta ad individuarle: sono i "lati" e le "mediane" del triangolo e la "circonferenza".
Ogni "retta" di questo piano contiene esattamente tre "punti".
Per ogni "punto" del piano passano esattamente tre "rette" del piano.
Per due "punti" qualsiasi passa una e una sola "retta" (come succede nella geometria euclidea).*
Due "rette" qualsiasi si intersecano in uno e un solo "punto" (non esistono rette parallele).*
Esistono quattro "punti" a tre a tre non appartenenti a una stessa "retta".*
Le proposizioni contrassegnate con * sono gli assiomi della geometria proiettiva.

Applicazione

Come si possono organizzare i turni di lavoro settimanali per 7 persone, sapendo che in ogni turno devono essere impegnate 3 persone e che tutte le persone facciano lo stesso numero di turni ?

Basta considerare il Piano di Fano, associare le persone ai "punti" del piano e poi formare i turni in base alle "rette" del piano:
ogni persona comparirà in 3 turni e in ogni turno saranno coinvolte 3 persone.

Il Piano di Fano si rivela utile per la costruzione delle terne di persone che lavorano nello stesso turno.
Per esempio, lunedì: B, F, C; martedì: C, D, A; mercoledì: A, E, B; giovedì: B, G, D; venerdì: C, G, E; sabato: A, G, F; domenica: D, E, F.