I numeri primi sono infiniti

Esistono diverse dimostrazioni dell'infinità dei numeri primi.
Trovo molto interessante la dimostrazione di Eulero, anche per la sua semplicità.

La dimostrazione di Eulero è una dimostrazione per assurdo (reductio ad absurdum).

Come in tutte le dimostrazioni per assurdo, si parte dalla negazione della tesi e si procede con il ragionamento finché non si incontra una contraddizione (assurdo) o meglio, finché non ci si scontra con un assurdo.

Si comincia, quindi, supponendo che non sia vero che i numeri primi sono infiniti, cioè si suppone che i numeri primi siano in numero finito.

I punti cruciali del ragionamento sono:

1. se i numeri primi sono finiti, deve esistere un numero primo più grande di tutti gli altri numeri primi;

2. si costruisce un numero particolare, moltiplicando tutti i numeri primi e aggiungendo 1;

3. per questo numero particolare ci sono soltanto due possibilità (come per tutti i numeri naturali maggiori di 1):
   o è primo o è composto (prodotto di numeri primi);

4. se questo numero particolare è primo, è un numero primo maggiore del numero primo più grande (assurdo);
   se questo numero particolare non è primo, deve avere un divisore primo diverso da tutti i numeri primi che, quindi, deve essere maggiore del numero primo più grande (assurdo).

In entrambi i casi si trova un numero primo maggiore del numero primo più grande!

Qui la dimostrazione dettagliata.