Numeri razionali

Un numero razionale è un numero che possa essere espresso sotto forma di frazione.

Tutte le frazioni fra loro equivalenti rappresentano lo stesso numero razionale.

Numeri irrazionali

Un numero irrazionale è un numero che non è razionale.

Si tratta di un numero la cui rappresentazione decimale è illimitata e non periodica.

In termini geometrici, applicando il teorema di Pitagora, la radice di 2 corrisponde alla lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti hanno lunghezza uguale a 1, o, in modo equivalente, alla diagonale di un quadrato di lato 1 o al rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato qualsiasi.

Il suo valore approssimato alla cinquantesima cifra decimale è:

1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694...

Una leggenda

Ippaso di Metaponto è stato un filosofo e matematico greco (500 a.C. circa).

È considerato la personalità più rilevante della scuola pitagorica antica, dopo il fondatore.

Della sua vita non si sa molto. Pare che sia morto a seguito della dimostrazione matematica che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo non era un numero, nel senso che i pitagorici davano al termine.
Si trattava del triangolo rettangolo più semplice possibile, il triangolo rettangolo isoscele con i due cateti di lunghezza 1. L'ipotenusa di quel triangolo, per il teorema di Pitagora, era uguale alla radice quadrata di 2. Il fatto che questa non si potesse esprimere come un numero razionale positivo, era un grande problema per i pitagorici.
Per questo motivo (o per aver rivelato la dimostrazione al mondo), si narra che Ippaso venne affogato nel mare di fronte a Crotone, in Calabria.

Questa scoperta era infatti in totale dissonanza con le credenze degli stessi pitagorici, inaccettabile per quella sorta di religione che era il misticismo pitagorico, basato sull'idea che il numero fosse l'essenza della natura...

I pitagorici non avevano lo stesso concetto del numero che abbiamo noi. Per loro i numeri erano solo i numeri naturali (ossia l'insieme {0, 1, 2, 3, 4, ...} o quelli che potevano essere espressi con un quoziente di numeri naturali (3/4, 5/8 ecc.), l'insieme dei numeri razionali positivi.
Questa scoperta è stata quindi la presunta causa della morte di Ippaso.

L'insieme R dei numeri reali

Si definisce numero reale un numero razionale o irrazionale.

In altre parole, mettendo insieme i numeri razionali e i numeri irrazionali, si ottiene un nuovo insieme: l'insieme dei numeri reali, R.

Ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta, ma sulla retta ci sono anche altri punti, a cui non corrisponde un numero razionale.

Per esempio, riportando la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1 sul prolungamento del lato, individuiamo il punto che ha distanza uguale alla radice di 2 dal vertice A.

I numeri reali, invece, completano la retta, nel senso che ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto sulla retta e, viceversa, ad ogni punto sulla retta corrisponde uno e un solo numero reale.
Per questo motivo si dice che l'insieme R è completo.