Piano cartesiano

La retta: equazione in forma esplicita

L'equazione della retta in forma esplicita è y = mx + q.
m e q sono due numeri, che possono anche essere uguali a 0.

m si chiama coefficiente angolare perché indica la direzione della retta, la sua inclinazione rispetto all'asse x. Se m = 0, la retta è parallela all'asse x.
q si chiama quota o ordinata all'origine perché indica l'ordinata del punto in cui la retta interseca l'asse y. Se q = 0, la retta passa per l'origine e viceversa.

L'equazione in forma esplicita non rappresenta tutte le rette del piano, non rappresenta le rette parallele all'asse y.

Animazione: Cliccando sul simbolo del "Play" o spostando manualmente il cursore, puoi osservare come si "sposta" la retta.

La retta: equazione in forma implicita

L'equazione della retta in forma esplicita è ax + by + c = 0.
a, b, c sono numeri reali, che possono anche essere uguali a 0, basta che almeno uno tra a e b sia non nullo.

Se a = 0, la retta è parallela all'asse x; se b = 0, la retta è parallela all'asse y; se c = 0, la retta passa per l'origine.
Il coefficiente angolare è dato dal rapporto tra
a e b, cambiato di segno.

Animazione: Cliccando sul simbolo del "Play" o spostando manualmente il cursore, puoi osservare come si "sposta" la retta, al variare di...

Rette parallele all'asse x

Le rette parallele all'asse x hanno coefficiente angolare uguale a 0 ed equazione del tipo y = k.
Viceversa, un'equazione del tipo y = k , con k numero reale che può anche essere 0, rappresenta sempre una retta parallela all'asse x.

L'equazione y = 0 rappresenta l'asse x.

Animazione: Cliccando sul simbolo del "Play" o spostando manualmente il cursore...

Rette parallele all'asse y

Le rette parallele all'asse y hanno coefficiente angolare non definito (si può anche dire che è infinito, ma è meno preciso) ed equazione del tipo x = h.
Viceversa, un'
equazione del tipo x = h , con h numero reale che può anche essere 0, rappresenta sempre una retta parallela all'asse y.

L'equazione x = 0 rappresenta l'asse y.

Animazione: Cliccando sul simbolo del "Play" o spostando manualmente il cursore...

Rette parallele

Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Animazione: Cliccando sul simbolo del "Play" o spostando manualmente il cursore puoi vedere che, rimanendo costante il coefficiente angolare...

Parabola

L'equazione della parabola dipende da tre coefficienti: a, b, c. Al variare dei tre coefficienti il grafico della parabola si modifica.

In particolare, il segno di a influisce sulla concavità: concavità verso l'alto se a > 0, concavità verso il basso se a < 0 (se a = 0, la parabola diventa una retta);
l'influenza di b sul grafico è più evidente quando si annulla (il vertice appartiene all'asse y, se b = 0);
c
rappresenta l'ordinata del punto di intersezione tra la parabola e l'asse y.

Animazione: Cliccando sul simbolo del "Play" o spostando manualmente il cursore...

Parabola ad asse orizzontale

L'equazione della parabola dipende da tre coefficienti: a, b, c, anche quando il suo asse di simmetria è parallelo all'asse x. Al variare dei tre coefficienti il grafico della parabola si modifica.

In questo caso, il segno di a influisce sulla concavità in questo modo: concavità verso destra se a > 0, concavità verso il sinistra se a < 0 (se a = 0, la parabola diventa una retta);
l'influenza di b sul grafico è più evidente quando si annulla (il vertice appartiene all'asse x, se b = 0);
c
rappresenta l'ordinata del punto di intersezione tra la parabola e l'asse x.

Animazione: Cliccando sul simbolo del "Play" o spostando manualmente il cursore...