René Descartes

I contributi di Cartesio, filosofo e matematico francese, fra i principali fondatori della matematica e della filosofia moderne, interessato anche alla musica, sono vari e notevoli sia nel campo della Filosofia che in quello della Matematica. Tutti lo ricordiamo per il suo cogito ergo sum, ma io gli sarò per sempre grata per il piano cartesiano.

Mi dispiace tantissimo che abbia avuto una vita piuttosto infelice, soprattutto nella parte finale, e che il valore dei suoi lavori sia stato riconosciuto soltanto dopo la sua morte.

Cartesio ha stabilito un ponte, un collegamento tra l'algebra e la geometria e per me, il fatto che un'equazione qualsiasi si converta nel grafico di una curva è pura meraviglia.

Non so se sia stato davvero cercando un modo per individuare la posizione di una mosca sul soffitto, come narra una leggenda, che Cartesio ha escogitato il sistema degli assi e l'idea di associare a un qualsiasi punto di un piano due coordinate, ma la trovo davvero un'idea geniale, rivoluzionaria.

Come "funziona" il piano cartesiano è noto ai più. Di solito, s'impara alle scuole medie e non è difficile... facendo attenzione a non confondere le due coordinate.

Ad ogni punto del piano viene associata una coppia ordinata di numeri, le coordinate, che permette di localizzare la sua posizione, un po' come nella Battaglia navale...

Si comincia fissando due rette perpendicolari, gli assi cartesiani. La retta orizzontale si chiama asse x o asse delle ascisse; la retta verticale si chiama asse y o asse delle ordinate; il loro punto di intersezione si chiama origine. Si orientano le due rette, indicando con una (sola!) freccia l'orientamento: verso destra per l'asse x e verso l'alto per l'asse y. Normalmente si sceglie la stessa unità di misura sui due assi.

Il piano cartesiano è un piano dove siano stati fissati un asse x, un asse y e l'unità di misura.

Ad ogni punto P del piano viene associata la coppia ordinata di numeri che rappresentano le sue distanze "con segno" dall'asse y e dall'asse x.
Viceversa, ad ogni coppia ordinata di numeri è possibile associare uno e un solo punto del piano cartesiano, il punto che ha come coordinate quelle della coppia di partenza.

I numeri x e y che costituiscono le coordinate di un punto si chiamano ascissa (la x, il primo numero della coppia) e ordinata (la y, il secondo numero della coppia).
Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro angoli che si chiamano quadranti e sono ordinati a partire da quello in alto a destra, in verso antiorario.

Ma il piano cartesiano non è soltanto uno schema tipo quelli della Battaglia navale! Come ho già detto, è un meraviglioso ponte tra l'algebra e la geometria. Vediamo come.

Un'equazione in due incognite x e y ha come soluzioni tutte le coppie ordinate di numeri (uno per la x e uno per la y) che soddisfano l'equazione. (Questo significa che, sostituiti al posto di x e y, quei numeri trasformano l'equazione in un'identità, cioè in un'uguaglianza vera, tipo 2+3=5.)
Ma ogni coppia ordinata di numeri corrisponde a un punto nel piano cartesiano e quindi, l'insieme di tutte le coppie che sono soluzione di un'equazione corrisponde a un insieme di punti sul piano cartesiano. In altre parole, le soluzioni di un'equazione in due incognite disegnano sul piano cartesiano una curva, un oggetto geometrico, che può essere una retta, se l'equazione è di 1° grado, una conica (parabola, circonferenza, ellisse, iperbole), se l'equazione è di 2° grado...

E viceversa, ogni curva del piano può essere descritta algebricamente associandole un'equazione in due incognite avente come soluzioni le coordinate dei punti della curva.

Per esempio, l'equazione 2x - y - 1 = 0 ha come soluzioni le coppie (0; -1), (1; 1), (2; 3) e interpretando queste coppie come coordinate di punti del piano cartesiano e rappresentandoli, otteniamo una retta, la retta che corrisponde a quell'equazione.
Tutti i punti le cui coordinate (x; y) soddisfano quell'equazione appartengono alla retta e viceversa, tutti i punti della retta hanno coordinate che soddisfano quell'equazione.
Ecco cosa intendo per meraviglioso ponte tra l'algebra e la geometria!
In questo modo è possibile spostare un problema da un campo all'altro: è possibile risolvere un problema geometrico applicando tecniche algebriche ed è possibile affrontare questioni di algebra ricorrendo ad interpretazioni geometriche. Che meraviglia!

Fino a qualche anno fa, per associare ad un'equazione la curva corrispondente era necessario studiare l'equazione, riconoscerne il tipo, trovarne alcuni punti particolari, le intersezioni con gli assi, eventuali asintoti... e poi si poteva costruire il grafico. Ci voleva un po' di impegno; in alcuni casi più di un po'.

Con la diffusione di alcuni software, oggi è possibile avere il grafico anche senza avere le conoscenze necessarie (o avendone persa memoria).

Io utilizzo spesso Geogebra. Si tratta di un software che offre numerose potenzialità, tra cui anche quella di visualizzare il grafico corrispondente ad un'equazione semplicemente scrivendola.
Un grafico appare appena cominciamo a scrivere l'equazione e si modifica fino ad assumere l'aspetto definitivo, quando l'equazione è stata scritta interamente. E' anche interessante vedere come si modifica, il grafico, secondo me.

Geogebra non è soltanto un validissimo programma per disegnare i grafici di funzioni, è anche un ottimo strumento didattico.
Spesso ricorro a Geogebra per altri scopi (soprattutto costruzioni geometriche per la Geometria Euclidea, anche animate) non tanto per lo studio di funzione, ma lo segnalo anche per la costruzione di grafici, magari per un controllo in caso di dubbi, dopo aver tracciato il grafico in modo autonomo.

Sono tanti i programmi che è possibile utilizzare per realizzare grafici di funzioni.
Alcuni non li conosco, ancora... Mi trovo benissimo con Geogebra, ma segnalo, per esempio, EffeDix e MAFA Plotter.

EffeDix è un programma semplice che permette di inserire le proprie funzioni e di vederne rappresentato il grafico.

MAFA Plotter è un programma che traccia grafici e diagrammi di funzioni matematiche e ne può tabulare i valori, il tutto direttamente online, senza bisogno di installazione. Di uso estremamente semplice, è allo stesso tempo molto flessibile, grazie ai numerosi parametri che l’utente può modificare. Consente anche di tracciare famiglie di curve parametriche ed è in grado di correggere "in automatico" gli errori di sintassi più comuni nei termini della funzione.

Vorrei osservare che questi programmi, permettendo di realizzare grafici di funzioni direttamente, senza lo studio preliminare (dominio, intersezioni con gli assi cartesiani, studio del segno, ricerca di eventuali asintoti...), potrebbero essere visti (ma io non sono d'accordo) come un "superamento" delle nozioni imparate a scuola, ma non sono di certo un superamento dell'idea eccezionale di Cartesio.
Anche questi programmi si basano sull'invenzione del grande Genio: gli assi cartesiani!

Con il suo saggio intitolato Geometria e in particolare con l'invenzione del piano cartesiano, nel 1637, Cartesio ha introdotto le basi della geometria analitica che è lo studio delle figure geometriche attraverso il sistema delle coordinate cartesiane.

Nella geometria analitica gli enti geometrici come punti, rette, curve, poligoni sono definiti tramite equazioni, disequazioni o sistemi di equazioni o disequazioni e anche le loro proprietà, come le condizioni di appartenenza, incidenza, parallelismo e perpendicolarità, vengono tradotte in equazioni e quindi studiate con gli strumenti dell'algebra e dell'analisi matematica.

Io trovo che la geometria analitica sia bellissima!