Intersezione tra due rette distinte

Dimostriamo che

Due rette distinte, r e s, hanno al massimo un punto in comune

Dimostrazione per assurdo

Supponiamo (per assurdo) che le rette distinte r e s abbiano più di un punto in comune.

Supponiamo che r e s abbiano due punti in comune (non c'è bisogno di esagerare, bastano due punti); chiamiamoli A e B.

Quindi il punto A appartiene alle rette r e s; anche il punto B appartiene alle rette r e s.

Allora per i punti A e B passano due rette distinte (le rette r e s), ma questo è assurdo per l'assioma che assicura che per due punti distinti passa sempre una e una sola retta.

Quindi non possiamo supporre che le rette r e s abbiano due punti in comune.

Pertanto, è stato dimostrato che due rette distinte r e s hanno al massimo un punto in comune.

Al massimo un punto significa che ci sono due possibilità:

• o hanno esattamente un punto in comune e allora si dice che sono incidenti

• o non hanno nessun punto in comune e allora si dice che sono parallele (distinte)