La Logica matematica

L’importanza di formulare ragionamenti validi e deduzioni corrette dovrebbe essere evidente a tutti… Eppure, capita di confondersi tra condizione necessaria e condizione sufficiente o sbagliare nella costruzione della negazione di una proposizione o formulare ragionamenti errati.

La logica matematica cerca di trattare i ragionamenti come calcoli in modo da poter stabilire, con certezza, quando sono corretti e quando sono errati.

Un ragionamento è una serie di “passaggi”: si parte da alcune premesse e si arriva a una conclusione.

Ecco un esempio di ragionamento corretto:

Se Lion è un gatto, allora ha la coda (1^a premessa)
Lion è un gatto (2^a premessa)
_____________________________________________________
Quindi, Lion ha la coda (conclusione)

Non importa che le premesse siano vere, conta soltanto la struttura (la logica) del ragionamento: se accettiamo le due premesse, allora dobbiamo accettare anche la conclusione. Non si tratta di stabilire una verità assoluta; si studia la correttezza del ragionamento.

E’ per questo che si chiama anche logica formale o simbolica, perché non si occupa del contenuto di un ragionamento, ma solo della sua forma.

Invece delle frasi in italiano si può usare il linguaggio simbolico, per generalizzare, ma anche per rendere più visibile la struttura del ragionamento.

Un ragionamento è valido se porta a una deduzione corretta, indipendentemente dai valori di verità delle premesse; in questo caso, da premesse vere deriva una conclusione vera.

Per costruire un ragionamento valido si possono utilizzare delle regole di deduzione:

· Modus Ponens

· Modus Tollens

· Sillogismo ipotetico

Il ragionamento dell’esempio precedente rientra nello schema del Modus Ponens. Scritto in simboli, diventa:

Modus Ponens

Se p, allora q (1^a premessa)

p (2^a premessa)

__________________________________

quindi q (conclusione)

Modus Tollens

Se p, allora q (1^a premessa)

negazione di q (2^a premessa)

______________________________________

quindi negazione di p (conclusione)

Sillogismo ipotetico

Se p, allora q (1^a premessa)

Se q, allora r (2^a premessa)

_____________________________________

quindi se p, allora r (conclusione)

Queste regole di deduzione garantiscono la correttezza del ragionamento.

Il Modus Ponens è un ragionamento diretto, è abbastanza naturale: p implica q; p è vera; quindi, q deve essere vera.

Il Modus Tollens è un ragionamento po’ più contorto: p implica q; q è falsa; quindi, p deve essere falsa perché se fosse vera, anche q dovrebbe essere vera (mentre la premessa è che q è falsa).

Il sillogismo ipotetico è abbastanza intuitivo, sarebbe la proprietà transitiva.

Esempi

Esempio:
Se Lion è un gatto, allora ha la coda (1^a prem.)
Lion non ha la coda (2^a prem.)
__________________________________________________
Quindi, Lion non è un gatto (conclusione)

Esempio:
Se Luca è romano, allora è italiano (1^a premessa)
Se Luca è italiano, allora è europeo (2^a premessa)
_________________________________________________________
quindi se Luca è romano, allora è europeo (conclusione)

Schema di ragionamento non valido:

Se p, allora q (1^a premessa)

negazione di p (2^a premessa)

______________________________________

quindi negazione di q (conclusione)

Questo ragionamento si “incontra” spesso, nei discorsi quotidiani, ma non è valido perché non funziona sempre.

In effetti, sappiamo che p implica q, ma se p non è vera (nelle premesse compare la negazione di p), come potremmo dedurre qualcosa a proposito di q?
E’ come se io dicessi: “Se è sera, accendo la luce.” Ma se non è sera, non posso dire niente della luce. Potrei averla accesa lo stesso, magari per non aprire le persiane. Mentre, posso dedurre che se non accendo la luce, non è sera perché se fosse sera, l’avrei accesa (modus tollens).

Anche il proverbio "Se son rose, fioriranno" si limita a dire cosa succederà se si tratta di rose, ma non si può dire niente nel caso che quelle non siano rose: potrebbero fiorire o non fiorire; semplicemente, non si sa. Non si può dedurre che se quelle non sono rose, non fioriranno (come a volte si fa, sbagliando).

Proposizioni

Gli oggetti della logica sono le proposizioni, affermazioni per le quali si può attribuire un valore di verità (vero o falso).

Collegando le diverse proposizioni attraverso l’uso di connettivi, si costruiscono proposizioni più complesse il cui valore di verità si può stabilire a partire dai valori di verità delle proposizioni di partenza attraverso delle tavole di verità che riassumono tutti i casi possibili.

I connettivi sono:

la negazione di una proposizione p (che è vera se p è falsa e falsa se p è vera)
la congiunzione di due proposizioni p e q (che è vera solo se p e q sono entrambe vere)
la disgiunzione (inclusiva) di due proposizioni p e q (che è vera solo se almeno una delle due proposizioni p o q è vera)

(Attenzione: la disgiunzione inclusiva è diversa dalla disgiunzione che intendiamo di solito; nel linguaggio quotidiano intendiamo spesso la disgiunzione esclusiva)

la disgiunzione (esclusiva) di due proposizioni p e q (che è vera solo se soltanto una delle due proposizioni p o q è vera)
se p allora q oppure p implica q o implicazione materiale (che è vera sempre tranne quando p è vera e q è falsa)
p se e solo se q o doppia implicazione (che è vera solo se p e q sono entrambe vere o entrambe false, cioè se p e q hanno lo stesso valore di verità)

Condizione necessaria, condizione sufficiente

Come ho già detto, nel linguaggio quotidiano si tende ad interpretare il "se... allora", in modo non corretto dal punto di vista matematico. Se Paolo dice a Luca: "Se domani c'è il sole, andiamo al mare", Luca dà per scontato che se piove, non si andrà al mare, sottintendendo che la frase di Paolo implichi che al mare si vada solo se c'è il sole.
Nel linguaggio matematico, invece, la proposizione "se p allora q" non pone condizioni nel caso che p non si verifichi.
In quale caso Luca potrebbe rimanere sorpreso? Solo se c'è il sole e Paolo non va al mare, cioè se la p è vera e la q è falsa.
Questo è il modo di interpretare il connettivo "se... allora": la proposizione composta è falsa soltanto se la p è vera e la q è falsa.

Un modo per esprimere il connettivo "se... allora" è parlando di condizione necessaria o sufficiente:
"se p allora q", si può esprimere dicendo che p è condizione sufficiente per q e q è condizione necessaria per p.

E' facile confondersi tra necessaria e sufficiente.
Una proposizione p è condizione sufficiente per una proposizione q se il fatto che si verifichi p implica automaticamente che si verifichi anche q. Basta che la p sia vera per dedurre la q.
Se la p si verifica, ok, si verifica sicuramente anche la q.
Se la p non si verifica, non possiamo dire niente della q.

Una proposizione q è condizione necessaria per una proposizione p se la p non si può verificare se non si verifica anche la q, la q è indispensabile per il verificarsi della p; se non si verifica la q, non si verifica nemmeno la p.

Per esempio, essere multiplo di 4 è condizione sufficiente affinché un numero sia pari perché se un numero è multiplo di 4, sicuramente è un numero pari.
Essere pari è condizione necessaria affinché un numero sia multiplo di 4 perché se un numero non è pari, sicuramente non può essere multiplo di 4.
Essere pari non è condizione sufficiente affinché un numero sia multiplo di 4 perché ci sono numeri come il 6 che sono pari, ma non multipli di 4.

Essere italiano è condizione sufficiente per essere europeo.
Essere europeo è condizione necessaria per essere italiano perché se una persona non è europea, non può essere italiana.
Essere europeo non è condizione sufficiente per essere italiano perché una persona europea potrebbe essere spagnola o francese.

Condizione necessaria e sufficiente

Un modo per esprimere il connettivo "se e solo se" è parlando di condizione necessaria e sufficiente:

"p se e solo se q", si può esprimere dicendo che p è condizione necessaria e sufficiente per q .

Per esempio, essere multiplo di 2 è condizione necessaria e sufficiente affinché un numero sia pari perché i numeri pari sono tutti e soli i multipli di 2, l'insieme dei numeri pari coincide con l'insieme dei multipli di 2.

Nel caso della condizione necessaria e sufficiente, "p se e solo se q", la proposizione p implica la proposizione q e viceversa, la proposizione q implica la proposizione p.

Quantificatori

Nel linguaggio simbolico compaiono delle "parole" particolari: i quantificatori:

quantificatore universale, indicato con il simbolo riportato nella tabella, che si legge "per ogni", ma si interpreta come "tutti" nel linguaggio quotidiano
quantificatore esistenziale, indicato con il simbolo riportato nella tabella, che si legge "esiste", ma si interpreta come "almeno un" o "qualche" o "alcuni" nel linguaggio quotidiano;
se è seguito da un punto esclamativo significa "esiste un solo";
se è barrato significa "non esiste".

Negazione

Capita spesso che si incorra in errore nella formulazione della negazione di una proposizione composta, in cui compare una congiunzione o una disgiunzione.

In questo caso sono utili le leggi di De Morgan.

La prima legge di De Morgan afferma che la negazione di una proposizione che contiene il connettivo AND, che corrisponde alla congiunzione "e" nel linguaggio quotidiano, è equivalente alla proposizione in cui il connettivo OR, che corrisponde alla congiunzione "o" nel linguaggio quotidiano, collega la negazione delle due proposizioni iniziali.

La seconda legge di De Morgan afferma che la negazione di una proposizione che contiene il connettivo OR, che corrisponde alla congiunzione "o" nel linguaggio quotidiano, è equivalente alla proposizione in cui il connettivo AND, che corrisponde alla congiunzione "e" nel linguaggio quotidiano, collega la negazione delle due proposizioni iniziali.

Le leggi di De Morgan si possono dimostrare attraverso la costruzione delle tavole di verità, come si vede in figura.

Praticamente, per negare una frase che contiene "e", oltre a negare le due proposizioni di partenza, si deve trasformare la congiunzione "e" in "o" e viceversa, per negare una frase che contiene "o", oltre a negare le due proposizioni di partenza, si deve trasformare la congiunzione "o" in "e".
Con la negazione la "e" e la "o" si scambiano.

Per esempio, la negazione di "Piove e fa freddo" è "Non piove o non fa freddo".

Se vogliamo dire che non è vero che Luca suona e canta, dobbiamo dire che Luca non suona o non canta.

La negazione di "Lion mangia o dorme" è "Lion non mangia e non dorme".

Se non è vero che domani piove o nevica, significa che domani non piove e non nevica.

Anche nel caso dei quantificatori, per negare correttamente un enunciato oltre a inserire la negazione nell'enunciato, occorre scambiare qualcosa; si scambiano i due quantificatori: il quantificatore universale si trasforma nel quantificatore esistenziale e viceversa.

La negazione di "Tutti i gatti sono grigi." è "Esiste almeno un gatto che non è grigio."

Se non è vero che "E' piovuto tutti i giorni della settimana scorsa.", significa che "Almeno un giorno della settimana scorsa non è piovuto."

La negazione di "In 1B c'è un ragazzo che si chiama Marco ." è "Tutti i ragazzi della 1B non si chiamano Marco."; nel linguaggio quotidiano diremmo "Nessuno dei ragazzi della 1B si chiama Marco", ma è la stessa cosa.

Se non è vero che c'è una luce accesa, significa che tutte le luci non sono accese, cioè tutte le luci sono spente.