Quando si tratta di Geometria, ci sono delle affermazioni che siamo abituati a considerare come "verità assolute", mentre sono soltanto verità relative agli assiomi posti alla base della teoria.

Cambiando gli assiomi o sostituendoli in parte, si possono costruire teorie diverse.
Non esiste una sola Geometria; esistono geometrie diverse, in base agli assiomi che si assumono come "regole del gioco".

Noi tendiamo a dare per scontati gli assiomi della Geometria Euclidea perché la Geometria Euclidea rispecchia la realtà in cui ci muoviamo, ma quelli non sono gli unici assiomi possibili.

Costruzione di una geometria

• Fissati degli oggetti come "personaggi" della teoria (enti primitivi)

• Fissate le "regole del gioco" (assiomi)

si costruisce la Geometria come l'insieme di tutte le affermazioni che riguardano gli enti primitivi e che si possono dedurre a partire dagli assiomi (teoremi).

Gli assiomi devono essere nel minor numero possibile e devono essere quelli davvero necessari.
Tutto quello che può essere dimostrato, deve essere dimostrato. Non ci devono essere assiomi superflui.

Negare questa proposizione equivale a negare le sue due affermazioni, quella dell'esistenza e quella dell'unicità. Quindi, si hanno due possibili negazioni:

1. Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esistono più rette passanti per il punto e parallele alla retta data.

2. Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, non esiste una retta passante per il punto e parallela alla retta data.

La Geometria in cui il quinto postulato viene sostituito dalla proposizione 1 si chiama Geometria iperbolica.

La Geometria in cui il quinto postulato viene sostituito dalla proposizione 2 si chiama Geometria ellittica.

La curva più breve che congiunge due punti di uno spazio si chiama geodetica.

Il termine "geodetica" deriva da geodesia, la scienza della misurazione delle dimensioni e della forma della Terra; nel suo significato originale, una geodetica era il cammino più breve tra due punti sulla superficie della Terra, ossia un arco di cerchio massimo. Gli archi di meridiani e di equatore sono geodetiche, mentre quelli degli altri paralleli no. Il termine è stato successivamente esteso a uno spazio qualsiasi.

Nel piano le geodetiche sono i segmenti o le linee rette; su una sfera sono gli archi di cerchio massimo.

In matematica, le geodetiche hanno un ruolo fondamentale nello studio delle superfici (ad esempio, quella terrestre) e sono molto importanti per descrivere le geometrie non euclidee.

In fisica, le geodetiche ricoprono un ruolo fondamentale nello studio dei moti dei corpi in presenza di campi gravitazionali, dato che la Relatività Generale interpreta la forza gravitazionale come una deformazione dello spazio-tempo quadridimensionale. Le idee e le tecniche sviluppate da Riemann relativamente alle geometrie non euclidee sono state essenziali per la formulazione della Relatività Generale da parte di Einstein.

La geometria sferica

è un caso particolare, un modello di geometria ellittica in cui i punti sono definiti nel senso usuale, le rette sono definite come circonferenze massime, i segmenti sono archi di circonferenza massima contenuta tra due punti, gli angoli sono definiti tra circonferenze massime, i punti antipodali sono punti diametralmente opposti.

• Per due punti non antipodali passa una e una sola retta (la circonferenza massima); per due punti antipodali passano infinite rette.

• Due rette distinte hanno sempre due punti in comune (non esistono rette parallele).

• Le rette sono linee chiuse e hanno tutte la stessa lunghezza (finita).

I triangoli sferici hanno per lati archi di circonferenza.

Modello di Klein

Il matematico tedesco Felix Klein (1849-1925) ha ideato un modello di geometria iperbolica con cui ha mostrato che tale geometria soddisfa tutti gli assiomi della geometria euclidea, tranne quello della parallela, concludendo, come abbiamo detto, che questo assioma (il quinto postulato di Euclide) è indipendente dai rimanenti e non può essere da essi dedotto.

Klein ha adottato come piano (iperbolico) la parte di piano delimitata da una circonferenza qualunque, esclusi i punti di quest’ultima. Ha chiamato poi punti (iperbolici) i punti interni a tale cerchio, sempre esclusa la circonferenza, e ha chiamato rette (iperboliche) le corde di tale cerchio, estremi esclusi.
Un punto appartiene ad una retta quando punto e corda corrispondenti nel cerchio si appartengono.

Data la retta c, per il punto P della figura 2 passano le due rette a e b che sono parallele (iperboliche) a c, dato che i punti di intersezione tra loro e c, essendo punti della circonferenza, non sono punti del piano iperbolico e quindi, le rette a e b non intersecano la retta c.

Pertanto, l'assioma della parallela in questo piano non è valido in quanto, ammettendo la definizione di rette parallele come rette complanari che non hanno alcun punto in comune, dato un qualsiasi punto P ed una retta r, si possono determinare due rette, PA e PB, parallele alla retta r e passanti per P. Infatti, A e B non sono ammissibili come punti perché appartengono alla circonferenza e quindi, l'affermazione che le due rette PA e PB non hanno punti in comune con la retta r è verificata.

Ci sono vari modelli di geometria iperbolica. Uno è il modello dell'iperboloide in cui lo spazio iperbolico è un iperboloide (una "sella") contenuto nello spazio tridimensionale e le rette sono le intersezioni dell'iperboloide con un piano passante per il centro dell'iperboloide.
La descrizione matematica di questo modello ha forti analogie con lo spaziotempo di Minkowski: la distanza fra due punti è la stessa usata nella Relatività Speciale.
Il modello dell'iperboloide è agevole per effettuare alcuni calcoli, perché utilizza gli strumenti dell'algebra lineare, ma risulta meno intuitivo e più difficile da visualizzare, perché contenuto nello spazio tridimensionale anziché nel piano.

Il modello del disco di Poincaré

Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è formato dai punti interni ad un cerchio C, le rette sono archi di circonferenza che intersecano il bordo del cerchio perpendicolarmente, gli angoli che formano due di queste "rette" quando si intersecano in un punto sono quelli formati dalle rette tangenti nel punto. La distanza fra due punti è definita in modo tale da crescere esponenzialmente quando uno dei due punti è spostato verso il bordo del cerchio.

I 5 assiomi della geometria iperbolica sono soddisfatti da questo modello. Infatti:

1. Dati due punti interni a C esiste effettivamente un unico arco di circonferenza perpendicolare al bordo del cerchio (retta) passante per i due punti.

2. Un arco di circonferenza può essere prolungato indefinitamente: il fatto che la distanza tenda a infinito all'avvicinarsi del bordo di C implica che tale bordo non è raggiunto mai, e quindi il prolungamento non si interrompe.

3. È possibile disegnare un cerchio con centro e raggio fissato.

4. Gli angoli retti sono congruenti.

5. Dato un punto P ed una retta r che non lo contiene, esistono almeno due rette passanti per P da r (rette parallele).