Siamo talmente abituati all'idea dell'infinità dei punti di una retta o di un piano nella Geometria Euclidea che per molti di noi è difficile immaginare che possano esistere geometrie finite.
(Credo che sull'infinità dei punti di un segmento ci siano meno certezze, per alcuni.)

Una geometria finita è un sistema di oggetti, chiamati "punti" o "rette" (anche se sono diversi dai punti e dalle rette a cui siamo abituati) che sono in numero finito. E' una geometria in cui c'è un numero finito di "punti" (e di "rette").

Una geometria finita può avere un qualsiasi numero (finito) di dimensioni. Ci sono soltanto due tipi di piani finiti: il piano affine e il piano proiettivo.

Il piano affine più piccolo contiene esattamente quattro "punti" (piano affine di ordine 2, definendo l'ordine di un piano affine come il numero di "punti" su ogni "retta"). Dato che non ci sono terne di "punti" appartenenti a una medesima "retta" (punti allineati), ogni coppia di "punti" distinti determina un’unica "retta". Pertanto, questo piano contiene sei "rette", dato che sono sei le coppie che si possono formare a partire da quattro elementi.
Come modello del piano affine di ordine 2 può essere considerato un quadrato in cui i "punti" sono i vertici e le "rette" sono i lati e le diagonali. Dato che il punto di intersezione nelle diagonali non è un "punto" del piano affine, anche le diagonali risultano parallele, come i lati opposti.

In generale, un piano affine finito di ordine n possiede n² "punti" e n² + n "rette"; ogni "retta" contiene n "punti", ogni "punto" appartiene a n + 1 "rette".
In particolare, il piano affine finito di ordine 3 contiene 9 "punti" e 12 "rette", raggruppabili in quattro terne di "rette" parallele.

La più piccola geometria che soddisfa i 3 assiomi della geometria proiettiva contiene 7 "punti". Si tratta del più semplice piano proiettivo ed è noto come Piano di Fano.
Contiene 7 "punti" e 7 "rette"; ogni "punto" appartiene a 3 "rette" ed ogni retta contiene 3 "punti". Due qualsiasi "rette" distinte si incontrano in un "punto", per cui, non esistono "rette" parallele.

Geometria affine e geometria proiettiva

La differenza tra geometria affine e geometria proiettiva è data, naturalmente, dai diversi assiomi che le caratterizzano.
L'assioma della parallela (presente nella geometria affine), nella geometria proiettiva è sostituito dall'assioma che assicura l'incidenza tra due rette qualsiasi; due rette distinte r e s nel piano proiettivo si intersecano sempre in esattamente un punto P, cioè nel piano proiettivo non esistono rette parallele.

Il caso "particolare" delle rette parallele viene superato aggiungendo al piano i "punti all'infinito", anche detti "punti impropri". In questo modo, anche due rette parallele hanno un punto in comune, un punto all'infinito, che si può immaginare come la loro direzione. I punti impropri formano una retta, detta "retta all'infinito" o "impropria". Si considera la "retta all'infinito" come una retta qualsiasi, indistinta dalle altre.