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Che la lunghezza del diametro di una circonferenza dipenda dalla misura della circonferenza è abbastanza intuitivo.
Che al crescere di una circonferenza cresca anche il suo diametro (la corda di lunghezza massima, quella che, passando per il centro, la "taglia a metà") non ci sorprende.
Che però dividendo la misura di una circonferenza per la lunghezza del suo diametro si ottenga sempre lo stesso risultato, al variare della circonferenza, può risultare un po' meno intuitivo, ma è così.
Un cerchio può essere più grande o più piccolo, ma il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro è costante.
Il numero che esprime il rapporto tra la lunghezza di una qualunque circonferenza e il suo diametro è pi greco.
I numeri non sono tutti uguali. Ci sono numeri pari o numeri dispari, numeri primi o numeri composti, numeri razionali o irrazionali, numeri reali o immaginari... numeri algebrici o trascendenti.
Pi greco, che viene indicato con il simbolo π, è un numero reale, irrazionale e trascendente.
Limitandoci alle prime dieci cifre, possiamo dire che π = 3,141592654.
In base alla definizione, la lunghezza di una circonferenza è uguale al suo diametro moltiplicato per π . Pertanto, possiamo anche dire che π rappresenta la lunghezza della semicirconferenza di raggio unitario.
Come ho già detto, inizialmente π è stato introdotto come rapporto tra la lunghezza di una qualunque circonferenza e il suo diametro, ma con l'avanzare degli studi e lo sviluppo della Matematica è diventato una delle costanti fondamentali di questa disciplina, assumendo diverse definizioni. In alcuni libri moderni di analisi matematica lo si definisce attraverso le funzioni trigonometriche.
E' possibile incontrare π in vari campi, anche in alcuni che sembrano lontani dal cerchio, ma non è inusuale, in un viaggio nel mondo della Matematica, scoprire legami inaspettati. Fa parte della meraviglia della Matematica!
In particolare, ritroviamo π, oltre che in tutte le formule di Geometria che hanno a che fare con un cerchio, anche in Analisi matematica, Probabilità, Statistica, Fisica, Aerodinamica.
Lo troviamo anche nell'identità di Eulero, considerata la formula più bella di tutta la matematica, che collega π ad altre importanti costanti matematiche tra cui il numero di Nepero (e) e l'unità immaginaria.
Raffigurazione di Archimede
Già i Babilonesi avevano scoperto che la lunghezza di una circonferenza è circa il triplo del suo diametro, ma Archimede è riuscito a stimare che il valore di π fosse compreso tra 223/71 e 220/70 e quindi approssimabile con il valore di 22/7; la scelta del simbolo π, però, è molto più recente (XVIII secolo).
Dato che si tratta di un numero irrazionale, non è possibile conoscere il valore esatto di π, visto che il suo sviluppo decimale è infinito e non presenta regolarità.
Per questo ci sono varie approssimazioni.
I matematici cinesi lo approssimavano con la radice quadrata di 10, ma si trattava di un'approssimazione poco efficace, differendo da π già dalla seconda cifra decimale.
La determinazione del più grande numero possibile di cifre di π ha impegnato molti matematici in epoche diverse ed è stata effettuata con vari metodi. Alcuni di questi ormai sono di interesse soltanto storico e sono basati sulla definizione di due classi contigue il cui elemento di separazione è π o una quantità che lo contiene. Rientra tra questi il metodo di Archimede, che considerando la quantità 2πR come elemento comune alle due classi dei perimetri dei poligoni regolari di n lati, con n crescente, circoscritti e inscritti a una circonferenza di raggio noto R, ha ottenuto la disuguaglianza 223/71 ≤ π ≤ 22/7 (arrivando fino a n = 96).
In figura, pentagoni, esagoni e ottagoni inscritti e circoscritti a una circonferenza.
All'aumentare del numero n dei lati, i poligoni si avvicinano sempre di più alla circonferenza.
Attualmente gli studi sono assistiti dal calcolo elettronico e sono basati sullo sviluppo di frazioni continue, di prodotti infiniti , di funzioni (il più importante è lo sviluppo della funzione arcotangente). Ci sono delle serie numeriche che convergono al valore di π (una trovata da Eulero).
Conoscere sempre più cifre decimali di π non è tanto importante per svolgere la maggior parte dei calcoli, per quelli bastano le approssimazioni. I calcoli lunghi e laboriosi per cercare di estendere sempre di più l'espansione di π sono utili anche per verificare i limiti della capacità di calcolo di un computer.
I matematici sono sempre stati affascinati da π e non solo loro.
Alcuni pensano che, dato che le sue cifre sono infinite e non ci sono le ripetizioni che si presentano nello sviluppo dei numeri periodici, sia possibile trovare all'interno della sua espansione una qualsiasi sequenza, tipo la sequenza 0123456789 o un qualsiasi numero di telefono.
Io non sono d'accordo. Secondo me, non si può essere certi di questo, ma nemmeno si può essere certi del contrario.
"Cifre infinite e non ripetute secondo uno schema" non significa, secondo me, che l'espansione di π debba contenere una qualsiasi sequenza.
Sicuramente contiene alcune sequenze particolari, ma non credo che si possa essere sicuri che le contenga tutte.
Andando molto avanti nell'espansione, sono stati scoperti dieci sei consecutivi e anche dieci sette consecutivi, parecchio più in là, ma queste sono due sequenze particolari.
Somma degli angoli interni di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Quello che ho scritto finora a proposito di π come rapporto tra la circonferenza e il suo diametro vale nella Geometria Euclidea, la geometria che ci sembra la più "naturale" perché rispecchia la realtà in cui viviamo.
Nella Geometria Euclidea, incontriamo π anche calcolando la somma degli angoli interni di un triangolo, misurata in radianti (in radianti π corrisponde a 180°), ma nelle Geometrie non-euclidee la stessa somma può essere maggiore (geometria ellittica) o minore (geometria iperbolica) di π e il rapporto fra una circonferenza e il suo diametro può non essere uguale a π (è minore di π nella geometria ellittica e maggiore di π nella geometria iperbolica). Questo ci permette di dire che π è una costante matematica, non fisica.
π nella musica e nei film
π nella musica e nei film
Dato il fascino che esercita, anche al di fuori della Matematica, π è comparso anche in alcuni brani musicali e film.
Tra gli altri, troviamo il brano dedicato a π da Kate Bush, nel 2005, in cui recita le sue prime 140 cifre. Michael Blake ha ottenuto un brano musicale utilizzando le prime 31 cifre di π, assegnando una nota o un accordo a ciascuna cifra del numero, ma sembra che il primo ad avere avuto un'idea simile sia stato Lars Erickson nel 1992. π 3,14 è il titolo del quinto album dei Rockets, del 1981.
Per quanto riguarda il cinema, troviamo "Contact", film del 1997 diretto da Robert Zemeckis, tratto dal romanzo di Carl Sagan. Degno di nota è il film del 1998 di Darren Aronofsky "π – Il teorema del delirio". π è anche il protagonista di un episodio della serie televisiva "Person of Interest" .
Pi greco Day
Pi greco Day
Il 14 marzo si festeggia il Pi Greco Day. La data è stata scelta in base alla notazione americana per le date, in cui il mese si scrive prima del giorno, e quindi, la data del 14 marzo corrisponde a 3.14, le prime cifre di π.
La prima celebrazione del "Pi Day" si è tenuta nel 1988 all'Exploratorium di San Francisco, per iniziativa del fisico statunitense Larry Shaw, insignito successivamente del titolo di "Principe del pi greco".
Dal 2020 si è deciso di estendere la celebrazione a tutto il mondo della Matematica e delle sue numerose applicazioni, proclamando il 14 marzo "International Day for Mathematics", ma secondo me, π resta il simbolo migliore per questa giornata.
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